Εδώ και δεκαετίες η σεισμολογία θεωρείται το καλύτερο εργαλείο για την εξερεύνηση του εσωτερικού ενός πλανητικού σώματος. Η εξάρτηση της ταχύτητας διάδοσης των σεισμικών κυμάτων από την πυκνότητα, μπορεί να δώσει πολύ χρήσιμες πληροφορίες για την εσωτερική δομή ενός σώματος στο οποίο διενεργείται ένα σεισμικό πείραμα. Στη Γη, η κάλυψη του πλανήτη από ένα αρκετά μεγάλο δίκτυο σε όλα τα μήκη και πλάτη του, έχει επιτρέψει την κατανόηση του εσωτερικού του πλανήτη μας, τις τελευταίες δεκαετίες, σε βαθμό που προηγουμένως η ανθρωπότητα δε μπορούσε να προβλέψει.

Στην προσπάθεια να δοθούν απαντήσεις που αφορούν το σχηματισμό της Γης, του Ηλιακού μας Συστήματος, αλλά και συνολικότερα των διαδικασιών που διέπουν τη δημιουργία πλανητών γύρω από ένα άστρο, οι μέθοδοι που έχουν χρησιμοποιηθεί στη Γη τα τελευταία περίπου 100 χρόνια γίνεται η προσπάθεια να εφαρμοστούν και σε άλλα πλανητικά σώματα. Κάτι τέτοιο συνέβη για πρώτη φορά το 1969, όταν και οι αστροναύτες, μέλη του πληρώματος του Apollo 11, που πάτησαν το πόδι τους στη Σελήνη, εγκατέστησαν εκεί και το πρώτο σεισμόμετρο έξω από τη Γη.

Το επόμενο βήμα αναμένεται να γίνει σύντομα, με την εγκατάσταση του σεισμομέτρου SEIS, της αποστολής InSight, που θα εκτοξευτεί από την Αεροπορική Βάση Vanderberg της California στις 5 του Μάη και αναμένεται τον προσεχή Νοέμβρη να προσεδαφιστεί στον Κόκκινο Πλανήτη, προκειμένου να εκτελέσει ένα σεισμικό πείραμα διάρκειας δύο χρόνων (που αντιστοιχούν σε ένα χρόνο στον Άρη).

Σεισμολογία και π

Η 14η Μαρτίου είναι η λεγόμενο π-Day, καθώς στον αμερικανικό τρόπο καταγραφής των ημερομηνιών γράφεται 3.14, όπως δηλαδή και ο αριθμός π, ένας από τους πιο θαυμαστούς αριθμούς του κόσμου της γεωμετρίας και των μαθηματικών γενικότερα.

Προκειμένου, λοιπόν, να τιμήσουμε αυτή τη μέρα, δε θα σας προτείνουμε μία πίτα (το π στα αγγλικά προφέρεται “πάι”, όπως δηλαδή pie), αλλά ένα απλό πείραμα πλανητικής σεισμολογίας, που αφορά τη μεθοδολογία με βάση την οποία μπορεί να εκτελεστεί ένα σεισμικό πείραμα μακριά από τη Γη, εκεί που δεν υπάρχει πυκνό σεισμογραφικό δίκτυο αλλά μόνο ένα σεισμόμετρο.

Βασική ιδέα

Η βασική ιδέα στηρίζεται στην καταγραφή των επιφανειακών σεισμικών κυμάτων. Σκεφτείτε, ότι όταν γίνεται ένας σεισμός (είτε στη Γη, είτε σε άλλο πλανήτη) διαδίδονται σεισμικά κύματα στο εσωτερικό του ΑΛΛΑ και στην επιφάνειά του. Αυτά τα κύματα, που ξεχωρίζουν σε Rayleigh και Love προς τιμήν εκείνων που τα περιέγραψαν, ταξιδεύουν εγκλωβισμένα μέσα σε μια δίοδο που ακολουθεί την επιφάνεια. Στο συγκεκριμένο πείραμα θα ασχοληθούμε πιο συγκεκριμένα με τα κύματα Rayleigh, αν και αυτό, εκ πρώτης όψεως δεν έχει μεγάλη σημασία, παρά μόνο ότι ονομάζουμε τις καταγραφές τους στο σεισμόμετρο με το γράμμα R.

Όταν λοιπόν συμβαίνει ένας σεισμός τα επιφανειακά κύματα που καταγράφονται από το σεισμόμετρο είναι αυτά που έχουν ταξιδέψει πάνω στον μέγιστο κύκλο που ενώνει το επίκεντρο με το σεισμόμετρο. Ωστόσο, αυτό μπορεί να γίνει είτε ταξιδέψουν προς τη μια, είτε προς την άλλη κατεύθυνση πάνω στο μέγιστο κύκλο (θυμηθείτε τη σκέψη του Κολόμβου να φτάσει στην Ινδία ταξιδεύοντας προς τα δυτικά).

Προφανώς, τα επιφανειακά κύματα που θα καταγραφούν πρώτα από το σεισμόμετρο είναι αυτά που θα φύγουν προς τη μεριά που πάνω στον κύκλο η απόσταση μεταξύ σεισμομέτρου και επικέντρου είναι μικρότερη. Αυτά είναι τα λεγόμενα κύματα R1. Αυτά που θα καταγραφούν στη συνέχεια είναι τα επιφανειακά κύματα που θα ταξιδέψουν προς την άλλη πλευρά του μέγιστου κύκλου, που ονομάζονται αντιστοίχως R2. Τέλος, τα κύματα που αποτελούν την καταγραφή R1, αφού κάνουν ακόμα μια φορά το γύρο του πλανήτη θα ξαναφτάσουν στο σεισμόμετρο και θα καταγραφούν ως R3. Αυτή ακριβώς η διαδρομή των κυμάτων φαίνεται και στην παρακάτω εικόνα.

Τα κύματα αυτά, ταξιδεύουν με μία ταχύτητα. Η ταχύτητα αυτή μας δίνει πληροφορίες για την εσωτερική δομή του φλοιού, ωστόσο, για λόγους απλοποίησης του προβλήματος, στη συγκεκριμένη περίπτωση θα τη θεωρήσουμε σταθερή σε μια μέση τιμή που αυτή έχει σε ολόκληρο τον πλανήτη.

Καθώς η ταχύτητα είναι απόσταση διά το χρόνο, μας αρκεί να γνωρίζουμε το χρόνο που χρειάστηκε για να ταξιδέψει μια γνωστή απόσταση. Στην περίπτωσή μας η γνωστή απόσταση είναι η περιφέρεια του πλανήτη, ή με άλλα λόγια (ελέω π) η περιφέρεια του μέγιστου κύκλου στον οποίο αναφερόμαστε, ενώ ο χρόνος που χρειάστηκε είναι η διαφορά του χρόνου καταγραφής των R3 από τα R1 κύματα. Έτσι η ταχύτητα σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο (rad/sec) εκφράζεται από τη σχέση:

$$U=\frac{2\pi}{R_3-R_1}$$

Γνωρίζοντας πλέον την ταχύτητα, αν θέλουμε να βρούμε την απόσταση του επικέντρου σεισμού από το σεισμόμετρο, δηλαδή αυτή που διήνυσαν τα επιφανειακά κύματα της R1 καταγραφής, πρέπει να σκεφτούμε ως εξής:

Η απόσταση από το επίκεντρο είναι ίση με την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων επί το χρόνο δt1 που χρειάστηκαν τα κύματα R1 για να φτάσουν στο σεισμόμετρο (δt1 άγνωστο).

$$\Delta = U \cdot \delta t_1 \space \space (\alpha)$$

Την ίδια στιγμή η απόσταση που διύνησαν τα κύματα R2 θα είναι 180 μοίρες (π ακτίνια) συν την απόσταση που απομένει μεταξύ του Δ και των 180 μοιρών. Άρα αυτό μαθηματικά μπορούμε να το εκφράσουμε ως:

$$\Delta_2 = \pi + \left( \pi – \Delta \right)$$

Άρα…

$$\Delta_2 = 2 \cdot \pi – \Delta$$

$$\Delta = 2 \cdot \pi – \Delta_2$$

Όμως η απόσταση που διήνυσαν τα R2 κύματα μπορεί να γραφτεί και ως το γινόμενο της ταχύτητας επί του χρόνου δt2 που χρειάστηκαν για να ταξιδέψουν. Έτσι έχουμε:

$$\Delta = 2 \cdot \pi – U \cdot \delta t_2 \space \space (\beta)$$

Αν τώρα προσθέσουμε τις σχέσεις (α) και (β) θα έχουμε:

$$2 \Delta = 2 \pi – U \cdot \delta t_2 + U \cdot \delta t_1$$

…που μας δίνει:

$$\Delta = \pi – \frac { U \cdot \left(\delta t_2 – \delta t_1\right)}{2} $$

Πλέον, το μόνο άγνωστο κομμάτι της σχέσης είναι το δt2 – δt1 που όμως είναι ίσο με R2 – R1 κι έτσι έχουμε τη σχέση:

$$\Delta = \pi – \frac { U \cdot \left(R_2 – R_1\right)}{2} $$

Τέλος, αν θέλουμε να βρούμε το χρόνο κατά τον οποίο συνέβη το σεισμικό γεγονός, πρέπει απλά να υπολογίσουμε το R1 – δt1 που μπορεί να γραφτεί:

$$t_0 = R_1 – \frac{\Delta}{U}$$

Εφαρμογή

Ας δούμε λοιπόν, τώρα, πόσοι μπορούν να γίνουν για λίγο πλανητικοί σεισμολόγοι που επεξεργάζονται τα δεδομένα που έρχονται στη Γη από το σεισμόμετρο της αποστολής InSight! Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι οι καταγραφές των επιφανειακών κυμάτων καταγράφονται τις παρακάτω ώρες:

$$R_1 = 08:38:09.4 \space UTC$$
$$R_2 = 10:04:48.2 \space UTC$$
$$R_3 = 10:25:43.0 \space UTC$$

Καλείστε να βρείτε την ταχύτητα των επιφανειακών κυμάτων σε rad/sec (ακτίνια ανά δευτερόλεπτο, 3.14 ακτίνια = 180 μοίρες), την επικεντρική απόσταση του σεισμικού γεγονότος από το σεισμόμετρο και το χρόνο γένεσης του σεισμού, χρησιμοποιώντας τις παρακάτω σχέσεις, που περιγράφονται μέσα στο άρθρο:

$$U=\frac{2\pi}{R_3-R_1}$$

$$\Delta = \pi – \frac { U \cdot \left(R_2 – R_1\right)}{2} $$

$$t_0 = R_1 – \frac{\Delta}{U}$$

Απάντηση

Για να απαντήσουμε θα πρέπει να μετατρέψουμε όλους τους χρόνους σε δευτερόλεπτα και μάλιστα σχετικά με ένα χρόνο αναφοράς. Έτσι θα θεωρήσουμε ως χρόνο αναφοράς τον R1 = 08:38:09.4 UTC. Έτσι έχουμε:

$$R_1=08:38:09.3 \space UTC =0 \space sec$$
$$R_2=10:04:48.2 \space UTC = R_1 + 01:26:38.8=R_1+5198.8= 5198.8 \space sec$$
$$R_2=10:25:42.0 \space UTC = R_1 + 01:47:33.6=R_1+6453.6= 6453.6 \space sec$$

Πλέον μπορούμε να κάνουμε την αριθμητική εφαρμoγή:

$$U=\frac{2\pi}{R_3-R_1}$$
$$U=\frac{2\pi}{6453.6} $$
$$U = 9.731 \cdot 10^{-4} \space rad.sec^{-1}$$

$$\Delta = \pi – \frac { U \cdot \left(R_2 – R_1\right)}{2} $$
$$\Delta = \pi – \frac { 9.731 \cdot 10^{-4} \cdot 5198.8}{2} $$
$$\Delta = \pi – 2.5295 $$
$$\Delta = 0.6105 \space rad $$

$$t_0 = R_1 – \frac{\Delta}{U}$$
$$t_0 = – \frac{0.6105}{9.731 \cdot 10^{-4}}$$
$$t_0 = – \frac{0.6105}{9.731} 10^{4}$$
$$t_0 = – 0.06274 \cdot 10^{4}$$
$$t_0 = – 627.4 \space sec$$
$$t_0 = 08:27:42.0 \space UTC$$

Καθώς ο Άρης έχει περιφέρεια 21344 χλμ, που ισούται στο πρόβλημά μας με 2π rad, μπορούμε να γράψουμε τα αποτελέσματα και ως:

$$U = 3.3 \space km.sec^{-1}$$
$$\Delta = 2074.9 \space km $$
$$t_0 = 08:27:42.0 \space UTC$$

http://publica.gr/wp-content/uploads/2018/03/pia22228-780x400.jpghttp://publica.gr/wp-content/uploads/2018/03/pia22228-780x400-150x150.jpgAegletes CoelispexΔιάστημαInSight,NASA,SEIS,Άρης,Γη,Διάστημα,διαστημική αποστολή,ηλιακό σύστημα,πλανητική σεισμολογία,σεισμοί,σεισμολογία,ΣελήνηΕδώ και δεκαετίες η σεισμολογία θεωρείται το καλύτερο εργαλείο για την εξερεύνηση του εσωτερικού ενός πλανητικού σώματος. Η εξάρτηση της ταχύτητας διάδοσης των σεισμικών κυμάτων από την πυκνότητα, μπορεί να δώσει πολύ χρήσιμες πληροφορίες για την εσωτερική δομή ενός σώματος στο οποίο διενεργείται ένα σεισμικό πείραμα. Στη Γη, η...Publica fama non semper vana